دو مخترع یک اختراع

دُوران نقطه پردازی (1) نیوتنی

در برابر دیفرانسیل گرایی (2) لایب نیتس (3)

از دید ایزاک نیوتن، کمیت های هندسی پدید آمده از حرکت پیوسته اند؛ مثلاً، خط از حرکت پیوسته ی نقطه پدید می آید. او کمیت پدیده آمده ی x را فلوئنت نامید و میزان تغییرهای (=سرعت) این متغیر x را (که با نمادهای امروزی است) با x نشان داد و آن را فلوکسیون نامید. آن گاه مقدار افزایش کوچک فلوئنت x در فاصله ی زمانی کوتاه را با o نشان داد و آن را گشتاور (5) فلوئنت نامید و این گشتاور را با xo نمایش داد (که با نمادهای امروزی او سپس توضیحی هم درباره ی نسبت می دهد: «گشتاورهای کمیت های متغیر [یا فلوئنت ها] مثل سرعت تغییر یا افزایش آن ها هستند ‍[به عبارت دیگر حکمی که امروزه آن را به صورت می نویسیم.
مثال زیر، برداشته از روش فلوکسیون ها (که نیوتن در 1671 نوشته و در 1736 منتشر کرده است)، چگونگی به کار بردن فلوکسیون ها و گشتاورها را شرح می دهد:
اگر گشتاور x به صورت حاصل ضرب سرعت آن، ، در یک مقدار بی نهایت کوچک مثل o یعنی به صورت
است. از سوی دیگر، از آن رو که گشتاورهای نسبت به متغیرهایx و y رشدی بی نهایت کوچک دارند، این متغیرها نیز در فاصله ی زمانی بی نهایت کوچک افزایش بی نهایت کوچک خواهند داشت و پس از این فاصله ی زمانی، x و y به ترتیب به تبدیل می شوند. بنابراین، در معادله ای که در هر حال برای متغیرها صادق باشد، آنچه رابطه ی بین را نشان می دهد همان رابطه ی بین x و y خواهد بود؛ بنابراین، در معادله ی مربوط به متغیرها می توان را به ترتیب به جای x وy قرار داد.
اگر معادله ی داده شده باشد، با جانشین کردن x و y به ترتیب ب خواهیم داشت و پس از به کنار نهادن
اما از آن رو که o مقداری بی نهایت کوچک فرض شده است که گشتاورها را نشان بدهد جمله هایی که در آن ضرب شده اند تأثیری درجمله های دیگر ندارند و می توانیم آن ها را به کنار گذاریم و در نتیجه، لایب نیتس که نظریه ی دیفرانسیل خود را (در 1675) منتشر کرد، بر پایه ی آن، دیفرانسیل xy به کار رفته در عبارتی از گونه ی بالا را به شیوه ای که در زیر می آید به دست آورد. او اصطلاح دیفرانسیل را ( برگرفته از واژه ی لاتین differentia به معنی تفاضل) به کار برد و علت آن در نامه ای که در 1699 برای جان والیس نوشت چنین شرح داده است:
در به کار بردن مقدارهای بی نهایت کوچک، و آن گاه که در پی به دست آوردن رابطه ای بین آن ها هستیم، باید توجه داشته باشیم که آن ها را با صفر اشتباه نگیریم، اما می توانیم آن ها را در روبه رویی با مقدارهای بزرگ تر که نسبت به هم سنجش ناپذیرندکنار بگذاریم، چنان که اگر داشته باشیم x+dx می توانیم از بی نهایت کوچک dx چشم پوشی کنیم. اما آن گاه که تفاوت بین x+dx و x را به دست می آوریم موضوع فرق می کند، زیرا کنارگذاشتن مقدارهای معین پیش می آید. همچنین نمی توانیم xdx و dxdx را با هم داشته باشیم. از این رو برای دیفرانسیل گیری از xy می نویسیم
اما جمله ای dxdy را کنار می گذاریم زیرا در مقایسه ی با xdy+ydx کوچک تر از این هاست. بنابراین در حالت هایی ویژه، خطایی که پیش می آید کمتر از هر مقدار معین متناهی است.
آنچه را نیوتن فلوکسیون نامید و با نشان داد، لایب نیتس به صورت نوشت ( و البته گهگاه "dx:dt" و یا "dx ad dt"). آنچه را هم امروزه انتگرال y می نامیم، نیوتن به صورت نوشت و لایب نیتس همان نماد کنونی را به کار برد و نخست به صورت و سس به صورت نوشت. نشانه ی
برگرفته از حرف لاتین s و نمایانگر مفهوم summation (به معنی مجموع یابی) است که نیوتن و لایب نیتس هر دو آن را نشانگر عمل پادمشتق (=عمل عکس مشتق یا دیفرانسیل گیری) می شناختند (که پس از آن «عمل عکس تعیین مماس» نامیده شد).
گرچه لایب نیتس به اهمیت ساختاری نظری برای حسابان ی برده بود، روی هم رفته کارهای او برکنار از آن دقتی بود که در بررسی کارهای نیوتن دیده می شود. لایب نیتس دلبستگی شدید و ذوق خوب به نمادگذاری های گویا و رسا را داشت و از همین رو در پیشرفت حسابان خود کامیاب بود. اما انگلیسی ها به خاطر وفاداری به نیوتن و بیزاری از لایب نیتس، تا نیم قرن از به کار بردن این نمادها خودداری کردند. در حدود 1810، با ورود چارلز بابیج (6) به دانشگاه کمبریج، سازمانی به نام «انجمن تجزیه و تحلیل» (7) در این دانشگاه تأسیس شد که نقطه ی عطف منش ریاضیدانان انگلیسی هم به شمار می آید؛ انجمن برتری نماد dx لایب نیتس را بر نماد نیوتن پذیرفت و آن گونه که بابیج یادآوری کرده است «در روبه رویی با اصل dot-age (= نقطه پردازی) دانشگاه، از اصل ناب d-ism (= دیفرانسیل گرایی) دفاع و پشتیبانی شد.»

پی نوشت ها :

1-dot-age .
2- D-ism .
3- واژه ی dotage به معنی کودنی در اثر پیری است و ترکیب dot-age از dot به معنی نقطه و age به معنی سن، روزگار، دوران، تشکیل شده است. در ترکیب D-ism، حرف D نشانه ی دموکراسی و در این جا شناسه ی دیفرانسیل و پسوندism به مفهوم گرایش داشتن است. – م.
4- Robert H. Dykstra .
5- moment .
6-Charles Babbage.
7- .Analytical society

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..